Albert Einstein pe spațiu-timp

Geometria euclidiană

Dacă luăm în considerare geometria euclidiană, discernem clar că se referă la legile care reglementează pozițiile corpurilor rigide. Reiese de la gândul ingenios de a urmări toate relațiile referitoare la corpuri și pozițiile lor relative la conceptul foarte simplu „distanță” (Strecke). Distanța indică un corp rigid pe care au fost specificate două puncte materiale (mărci). Conceptul egalității distanțelor (și a unghiurilor) se referă la experimente care implică coincidențe; aceleași observații se aplică și teoremelor privind congruența. Acum, geometria euclidiană, sub forma în care ne-a fost transmisă de la Euclid, folosește conceptele fundamentale „linie dreaptă” și „plan” care nu par să corespundă, sau în orice caz, nu atât de direct, cu experiențe. privind poziția corpurilor rigide. În acest sens, trebuie remarcat faptul că conceptul de linie dreaptă poate fi redus la cel al distanței.¹ Mai mult decât atât, geometrii erau mai puțin preocupați de a scoate în relație conceptele lor fundamentale de a experimenta decât de a deduce logic propunerile geometrice din câteva axiome enunțate de la început.

Să prezentăm pe scurt cum poate fi dobândită baza geometriei euclidiene din conceptul de distanță.

Pornim de la egalitatea distanțelor (axiomul egalității distanțelor). Să presupunem că din două distanțe inegale una este întotdeauna mai mare decât cealaltă. Aceleași axiome sunt menținute pentru inegalitatea distanțelor ca și pentru inegalitatea numerelor.

Trei distanțe AB ¹, BC ¹, CA ¹ poate, în cazul în care CA ¹ să fie ales în mod adecvat, au mărcile lor BB ¹, CC ¹, AA ¹ suprapusă pe unul pe altul în așa fel încât rezultă un triunghi ABC. Distanța CA ¹ are o limită superioară pentru care această construcție este încă posibilă. Punctele A, (BB ') și C se află apoi într-o "linie dreaptă" (definiție). Aceasta duce la concepte: producerea unei distanțe cu o cantitate egală cu sine; împărțirea unei distanțe în părți egale; exprimarea unei distanțe în termeni de număr cu ajutorul unei tije de măsurare (definiția intervalului de spațiu între două puncte).

Atunci când conceptul de interval între două puncte sau lungimea unei distanțe a fost obținut în acest fel, avem nevoie de următoarea axiomă (teorema lui Pitagora) pentru a ajunge analitic la geometria euclidiană.

Fiecare punct de spațiu (corp de referință) pot fi atribuite trei numere (coordonate) x, y, z - și invers - astfel încât pentru fiecare pereche de puncte A (x ₁, y ₁, z ₁) și B (x ₂, y ₂, z ₂) teorema ține:

număr de măsură AB = sqroot {(x ₂ - x ₁) ² + (y ₂ - y ₁) ² + (z ₂ - z ₁) ² }.

Toate noțiunile și propunerile ulterioare ale geometriei euclidiene pot fi apoi construite pur logic pe această bază, în special și propunerile despre linia dreaptă și planul.

Aceste observații nu sunt, desigur, destinate să înlocuiască construcția strict axiomatică a geometriei euclidiene. Doar dorim să indicăm în mod plauzibil cum toate concepțiile de geometrie pot fi identificate în distanță. La fel de bine am fi epitomizat întreaga bază a geometriei euclidiene în ultima teoremă de mai sus. Relația cu fundamentele experienței ar fi apoi oferită printr-o teoremă suplimentară.

Coordonata poate fi și trebuie să fie aleasă astfel încât două perechi de puncte separate prin intervale egale, așa cum se calculează cu ajutorul teoremei lui Pitagora, pot fi făcute să coincidă cu una și aceeași distanță aleasă corespunzător (pe un solid).

Conceptele și propozițiile geometriei euclidiene pot fi derivate din propunerea lui Pitagora fără introducerea de corpuri rigide; dar aceste concepte și propuneri nu ar avea apoi conținut care ar putea fi testat. Nu sunt propoziții „adevărate”, ci doar propuneri corecte din punct de vedere logic, cu conținut pur formal.