Secțiune conică, numită și conică, în geometrie, orice curbă produsă de intersecția unui plan și un con circular circular. În funcție de unghiul planului în raport cu conul, intersecția este un cerc, o elipsă, o hiperbolă sau o parabolă. Cazurile speciale (degenerate) de intersecție apar atunci când planul trece doar prin vârf (producând un singur punct) sau prin vârf și un alt punct pe con (producând o linie dreaptă sau două linii drepte care se intersectează). Vezi figura.
geometrie proiectivă: secțiuni conice proiective
Secțiunile conice pot fi considerate secțiuni plane ale unui con circular circular (a se vedea figura). Respectând
Descrierile de bază, dar nu și numele, ale secțiunilor conice pot fi urmărite de Menaechmus (înflorit c. 350 a.c.), un elev atât al lui Platon, cât și al lui Eudoxus din Cnidus. Apollonius din Perga (c. 262–190 a. Chr.), Cunoscut sub numele de „Marele Geometru”, a dat secțiunilor conice numele lor și a fost primul care a definit cele două ramuri ale hiperbolei (care presupun conul dublu). Tratatul lui Apollonius în opt volume despre secțiunile conice, Conics, este una dintre cele mai mari lucrări științifice din lumea antică.
Definiție analitică
Conicele pot fi, de asemenea, descrise ca curbe plane care sunt căile (loci) ale unui punct care se deplasează astfel încât raportul dintre distanța sa dintr-un punct fix (focalizarea) și distanța de la o linie fixă (direcția) este o constantă, numită excentricitatea curbei. Dacă excentricitatea este zero, curba este un cerc; dacă este egală cu una, o parabolă; dacă este mai puțin de una, o elipsă; și dacă este mai mare decât una, o hiperbolă. Vezi figura.
Fiecare secțiune conică corespunde graficului ecuației polinomiale de gradul doi a formei Ax 2 + Prin 2 + 2Cxy + 2Dx + 2Ey + F = 0, unde x și y sunt variabile și A, B, C, D, E și F sunt coeficienți care depind de conica particulară. Printr-o alegere potrivită de axe de coordonate, ecuația pentru orice conică poate fi redusă la una din cele trei forme simple de r: x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1, x 2 / a 2 - y 2 / b 2 = 1, sau y 2 = 2px, corespunzând unei elipse, a unei hiperbole, respectiv a unei parabole. (O elipsă unde a = b este de fapt un cerc.) Utilizarea extensivă a sistemelor de coordonate pentru analiza algebrică a curbelor geometrice a apărut cu René Descartes (1596-1650). Vezi Istoria geometriei: Geometria carteziană.
Origini grecești
Istoria timpurie a secțiunilor conice este unită la problema „dublei cubului”. Conform lui Eratosthenes of Cyrene (c. 276–190 a. Chr.), Oamenii din Delos au consultat oracolul lui Apollo pentru ajutor pentru a pune capăt unei ciumă (c. 430 a. Chr.) Și au fost instruiți să construiască Apollo un alt altar de două ori volumul vechiului altar. și cu aceeași formă cubică. Perplex, Delianii l-au consultat pe Platon, care a declarat că „oracolul însemna, nu că zeul dorea un altar de dimensiunea dublă, ci că și-a dorit, pentru a le pune sarcina, să-i rușineze pe greci pentru neglijarea lor de matematică și disprețul lor. pentru geometrie. ” Hippocrates of Chios (c. 470–410 a.c.) a descoperit pentru prima dată că „problema Delian” poate fi redusă la găsirea a două proporționale medii între a și 2a (volumele altarelor respective) - adică determinarea x și y astfel încât a: x = x: y = y: 2a. Acest lucru este echivalent cu rezolvarea simultană a oricăreia dintre ecuațiile x 2 = ay, y 2 = 2ax și xy = 2a 2, care corespund la două parabole și, respectiv, o hiperbolă. Mai târziu, Arhimede (c. 290-211 a.c.) a arătat cum să folosească secțiuni conice pentru a împărți o sferă în două segmente având un raport dat.
Diocles (c. 200 bc) au demonstrat geometric că razele - de exemplu, de la Soare - care sunt paralele cu axa unui paraboloid de revoluție (produs prin rotirea unei parabole în jurul axei sale de simetrie) se întâlnesc în centrul atenției. Se spune că Arhimede a folosit această proprietate pentru a da foc navelor inamice. Proprietățile focale ale elipsei au fost citate de Anthemius of Tralles, unul dintre arhitecții pentru Catedrala Hagia Sophia din Constantinopol (completată în anunțul 537), ca mijloc de a se asigura că un altar poate fi iluminat de lumina soarelui toată ziua.
