Riemann ipoteza matematică

Ipoteza lui Riemann, în teoria numerelor, ipoteză de la matematicianul german Bernhard Riemann cu privire la localizarea soluțiilor la funcția zeta Riemann, care este conectată la teorema numerelor prime și are implicații importante pentru distribuția numerelor prime. Riemann a inclus ipoteza într-o lucrare, „Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse” („Cu privire la numărul de numere prime mai puțin decât o cantitate dată”), publicată în ediția din noiembrie 1859 a lui Monatsberichte der Berliner Akademie („Revizuirea lunară a Academiei din Berlin ”).

Funcția zeta este definită ca seria infinită ζ (s) = 1 + 2 ^−s + 3 ^−s + 4 ^−s + ⋯ sau, în notație mai compactă, , unde însumarea (Σ) a termenilor pentru n trece de la 1 la infinit prin numerele întregi pozitive și s este un număr întreg pozitiv fix mai mare de 1. Funcția zeta a fost studiată pentru prima dată de matematicianul elvețian Leonhard Euler în secolul al XVIII-lea. (Din acest motiv, se numește uneori funcția zulă Euler. Pentru ζ (1), această serie este pur și simplu seria armonică, cunoscută încă din antichitate pentru a crește fără legătură - adică, suma sa este infinită.) Euler a obținut faima instantanee când demonstrat în 1735 că ζ (2) = π ² /6, o problemă care a eludat cei mai mari matematicieni ai epocii, inclusiv familia elvețiană Bernoulli (Jakob, Johann și Daniel). Mai general, Euler a descoperit (1739) o relație între valoarea funcției zeta pentru numere întregi și numerele Bernoulli, care sunt coeficienții din expansiunea seriei Taylor a lui x / (e ^x - 1). (Vezi și funcția exponențială.) Și mai uimitor, în 1737, Euler a descoperit o formulă legată de funcția zeta, care presupune însumarea unei secvențe infinite de termeni care conțin numerele întregi pozitive și un produs infinit care implică fiecare număr prim:

Riemann a extins studiul funcției zeta pentru a include numerele complexe x + iy, unde i = rădăcina pătrată a − 1, cu excepția liniei x = 1 din planul complex. Riemann știa că funcția zeta este egală cu zero pentru toate numerele întregi negative −2, −4, −6,

(așa-numitele zerouri banale) și că are un număr infinit de zerouri în banda critică a numerelor complexe care se încadrează strict între liniile x = 0 și x = 1. El a știut, de asemenea, că toate zerourile nontriviale sunt simetrice în raport cu x = pozitia critica ¹ / cu ₂. Riemann a conjecturat că toate zerourile nontriviale sunt pe linia critică, o conjectură care ulterior a devenit cunoscută drept ipoteza Riemann.

In 1914, matematicianul englez Godfrey Harold Hardy a dovedit că un număr infinit de soluții de ζ (s) = 0 exista pe linia critica x = ¹ / cu ₂. Ulterior, de către diverși matematicieni a fost arătat că o mare parte din soluții trebuie să se bazeze pe linia critică, deși frecvențele „dovezi” că toate soluțiile nontriviale sunt pe el au fost defecte. Calculatoarele au fost, de asemenea, folosite pentru testarea soluțiilor, primele 10 trilioane de soluții neprivizibile arătate pe linia critică.

O dovadă a ipotezei Riemann ar avea consecințe de anvergură pentru teoria numerelor și pentru utilizarea primelor în criptografie.

Ipoteza Riemann a fost considerată multă vreme cea mai mare problemă nesoluționată în matematică. A fost una dintre cele 10 probleme matematice nesoluționate (23 pe adresa tipărită) prezentată ca o provocare pentru matematicienii secolului XX de către matematicianul german David Hilbert la cel de-al doilea congres internațional de matematică din Paris, la 8 august 1900. În 2000, matematicianul american Stephen Smale a actualizat ideea lui Hilbert cu o listă de probleme importante pentru secolul XXI; ipoteza Riemann era numărul unu. În 2000 a fost desemnată o problemă de mileniu, una dintre cele șapte probleme matematice selectate de Institutul de Matematică Clay din Cambridge, Mass., SUA, pentru un premiu special. Soluția pentru fiecare problemă din Mileniu valorează 1 milion USD. În 2008, Agenția SUA pentru Cercetări Avansate pentru Proiecte (DARPA) a listat-o ​​drept una dintre provocările matematice DARPA, 23 de probleme matematice pentru care solicita propuneri de cercetare pentru finanțare - „Provocarea matematică din nouăsprezece ani: soluționează ipoteza Riemann. Sfântul Graal al teoriei numerelor. ”