Quadratura Lunei

Hipocrate din Chios (fl. C. 460 a.c.) au demonstrat că zonele în formă de lună dintre arcurile circulare, cunoscute sub numele de linii, ar putea fi exprimate exact ca o zonă rectilinie, sau o cuadratură. În următorul caz simplu, două linii dezvoltate în jurul laturilor unui triunghi drept au o zonă combinată egală cu cea a triunghiului.

1. Începând cu dreapta ΔABC, desenați un cerc al cărui diametru coincide cu AB (partea c), ipotenuză. Deoarece orice triunghi drept desenat cu un diametru al cercului pentru ipotenuză trebuie să fie înscris în cerc, C trebuie să fie pe cerc.

2. Desenați semicercuri cu diametrele AC (partea b) și BC (partea a) ca în figură.

3. Etichetați liniile rezultate L ₁ și L ₂ și segmentele rezultate S ₁ și S ₂, așa cum este indicat în figură.

4. Acum suma liniilor (L ₁ și L ₂) trebuie să fie egală cu suma semicercurilor (L ₁ + S ₁ și L ₂ + S ₂) care le conține minus cele două segmente (S ₁ și S ₂). Astfel, L ₁ + L ₂ = ^π / ₂ (^b / ₂) ² - S ₁ + ^π / ₂ (^a / ₂) ² - S ₂ (deoarece aria unui cerc este π ori pătratul razei).

5. Suma segmentelor (S ₁ și S ₂) este egală cu aria semicercului bazată pe AB minus aria triunghiului. Astfel, S ₁ + S ₂ = ^π / ₂ (^c / ₂) ² - ΔABC.

6. Substituind expresia din pasul 5 în etapa 4 și determinând termeni comuni, L ₁ + L ₂ = ^π / ₈ (a ² + b ² - c ²) + ΔABC.

7. Deoarece ∠ACB = 90 °, a ² + b ² - c ² = 0, prin teorema lui Pitagore. Astfel, L ₁ + L ₂ = ΔABC.

   Hipocrate a reușit să pătrundă mai multe feluri de linii, unele pe arcuri mai mari și mai mici decât semicercurile și a intuit, deși poate nu a crezut, că metoda lui ar putea pătra un cerc întreg. La sfârșitul epocii clasice, Boethius (c. Ad 470–524), ale cărui traduceri latine ale fragmentelor de Euclid ar menține lumina geometriei care pâlpâie timp de jumătate de mileniu, a menționat că cineva a reușit pătrunderea cercului. Dacă geniul necunoscut a folosit lune sau o altă metodă nu este cunoscut, deoarece din lipsa de spațiu Boethius nu a dat demonstrația. El a transmis astfel provocarea quadraturii cercului împreună cu fragmente de geometrie aparent utile în realizarea lui. Europenii au ținut sarcina neplăcută bine în Iluminare. În cele din urmă, în 1775, Academia de Științe din Paris, plină de sarcina de a depista falimentele în numeroasele soluții care i-au fost depuse, a refuzat să aibă vreo legătură mai mare cu pătratele cercurilor.