Fundal istoric
Algoritmii numerici sunt cel puțin la fel de vechi ca papirusul egiptean Rhind (c. 1650 a.c.), care descrie o metodă de găsire a rădăcinilor pentru rezolvarea unei ecuații simple. Matematicienii greci antici au făcut multe progrese suplimentare în metodele numerice. În special, Eudoxus of Cnidus (c. 400–350 bc) creat și Archimedes (c. 285-212 / 211 bc) au perfecționat metoda de epuizare pentru calculul lungimilor, suprafețelor și volumelor figurilor geometrice. Când este utilizată ca metodă pentru a găsi aproximații, aceasta este în mare parte spiritul integrării numerice moderne; și a fost un precursor important în dezvoltarea calculului de către Isaac Newton (1642–1727) și Gottfried Leibniz (1646–1716).
Calculul, în special, a dus la modele matematice precise pentru realitatea fizică, mai întâi în științele fizice și, în cele din urmă, în celelalte științe, inginerie, medicină și afaceri. Aceste modele matematice sunt de obicei prea complicate pentru a fi rezolvate explicit, iar efortul de a obține soluții aproximative, dar extrem de utile, a dat un impuls major analizei numerice. Un alt aspect important al dezvoltării metodelor numerice a fost crearea de logaritmi în jurul anului 1614 de către matematicianul scoțian John Napier și alții. Logaritmii au înlocuit înmulțirea și diviziunea obositoare (adesea implicând multe cifre de precizie) cu adăugarea și scăderea simplă după conversia valorilor originale în logaritmele lor corespunzătoare prin tabele speciale. (Mecanizarea acestui proces a determinat inventatorul englez Charles Babbage (1791-1871) să construiască primul computer - consultați Istoria computerelor: primul computer.)
Newton a creat o serie de metode numerice pentru a rezolva o varietate de probleme, iar numele său este încă atașat la multe generalizări ale ideilor sale originale. O notă deosebită este munca sa privind găsirea rădăcinilor (soluțiilor) pentru funcțiile generale și găsirea unei ecuații polinomiale care se potrivește cel mai bine unui set de date („interpolare polinomială”). În urma lui Newton, mulți dintre gigantii matematici ai secolelor 18 și 19 au adus contribuții majore la analiza numerică. Dintre aceștia, elvețianul Leonhard Euler (1707-1783), francezul Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) și germanul Carl Friedrich Gauss (1777-1855).
Unul dintre cele mai importante și influente dintre modelele matematice timpurii din știință a fost cel dat de Newton pentru a descrie efectul gravitației. Conform acestui model, forța gravitațională exercitată pe un corp de masă m de Pământ are magnitudinea F = Gmm e / r 2, unde m e masa Pământului, r este distanța dintre centrele celor două corpuri, iar G este constantă gravitațională universală. Forța de pe m este îndreptată spre centrul de greutate al Pământului. Modelul lui Newton a dus la multe probleme care necesită soluție prin mijloace aproximative, implicând de obicei ecuații diferențiale obișnuite.
În urma dezvoltării de către Newton a legilor sale de bază ale fizicii, mulți matematicieni și fizicieni au aplicat aceste legi pentru a obține modele matematice pentru mecanica solidă și fluidă. Inginerii civili și mecanici își bazează încă modelele pe această lucrare, iar analiza numerică este unul dintre instrumentele lor de bază. În secolul al XIX-lea, fenomenele care implică căldură, electricitate și magnetism au fost modelate cu succes; iar în secolul XX, mecanica relativistă, mecanica cuantică și alte construcții teoretice au fost create pentru a extinde și îmbunătăți aplicabilitatea ideilor anterioare. Una dintre cele mai răspândite tehnici de analiză numerică pentru lucrul cu astfel de modele implică aproximarea unei suprafețe, structuri sau procese complexe, continue, printr-un număr finit de elemente simple. Cunoscută drept metoda elementului finit (FEM), această tehnică a fost dezvoltată de inginerul american Harold Martin și alții pentru a ajuta Compania Boeing să analizeze forțele de stres pe noile modele de aripi cu jet în anii '50. FEM este utilizat pe scară largă în analiza stresului, transferul de căldură, fluxul de fluid și analiza torsiunii.
Teoria analizei numerice
Următoarea este o categorizare bruscă a teoriei matematice care stă la baza analizei numerice, ținând cont de faptul că de multe ori există o mulțime de suprapuneri între zonele enumerate.
