Logică și metalogică
Într-un sens, logica trebuie identificată cu calculul predicat al primului ordin, calculul în care variabilele sunt limitate la indivizi cu un domeniu fix - deși poate include și logica identității, simbolizată „=,” care ia proprietățile obișnuite ale identității ca parte a logicii. În acest sens, Gottlob Frege a obținut un calcul formal al logicii încă din 1879. Uneori, logica este interpretată, cu toate acestea, incluzând și calculi de predicat de ordin superior, care admit variabile de tipuri superioare, cum ar fi cele care se întind peste predicate (sau clase și relații)) si asa mai departe. Dar atunci este un mic pas către includerea teoriei de seturi și, de fapt, teoria axiomatică a seturilor este adesea privită ca o parte a logicii. În sensul acestui articol, este mai potrivit să se limiteze discuția la logică în primul sens.
Este greu de separat diferențele semnificative ale logicii de cele din metalogic, deoarece toate teoremele de interes pentru logici sunt despre logică și, prin urmare, aparțin metalogicului. Dacă p este o teoremă matematică - în special, una despre logică - și P este conjuncția axiomelor matematice folosite pentru a demonstra p, atunci fiecare p poate fi transformată într-o teoremă, „nu-P sau p”, în logică. Matematica nu se realizează, însă, prin efectuarea în mod explicit a tuturor etapelor așa cum sunt formalizate în logică; selecția și înțelegerea intuitivă a axiomelor este importantă atât pentru matematică, cât și pentru metamatematică. Derivațiile actuale în logică, precum cele efectuate chiar înainte de Primul Război Mondial de Alfred North Whitehead și Bertrand Russell, prezintă un interes intrinsec pentru logici. Prin urmare, poate apărea redundantă introducerea termenului metalogic. Cu toate acestea, în clasificarea actuală, metalogica este concepută ca abordând nu numai constatările despre calculii logici, ci și studiile asupra sistemelor formale și ale limbajelor formale în general.
Un sistem formal obișnuit diferă de un calcul logic prin faptul că, de obicei, sistemul are o interpretare intenționată, în timp ce calculul logic lasă în mod deliberat deschiderea posibilelor interpretări. Astfel, se vorbește, de exemplu, despre adevărul sau falsitatea propozițiilor într-un sistem formal, dar în ceea ce privește un calcul logic, se vorbește despre validitate (adică, este adevărat în toate interpretările sau în toate lumile posibile) și de satisfacție (sau având un model - adică, fiind adevărat într-o anumită interpretare). Prin urmare, completitudinea unui calcul logic are o semnificație cu totul diferită de cea a unui sistem formal: un calcul logic nu permite multe propoziții astfel încât nici propoziția și nici negația sa nu sunt o teoremă, deoarece este adevărat în unele interpretări și false în altele, și cere doar ca fiecare propoziție valabilă să fie o teoremă.
