Ecuație diferențială

Ecuație diferențială, enunț matematic care conține una sau mai multe derivate - adică termeni care reprezintă ratele de schimbare a cantităților care variază continuu. Ecuațiile diferențiale sunt foarte frecvente în știință și inginerie, precum și în multe alte domenii ale studiului cantitativ, deoarece ceea ce poate fi observat și măsurat direct pentru sistemele care suferă modificări sunt ratele de schimbare ale acestora. Soluția unei ecuații diferențiale este, în general, o ecuație care exprimă dependența funcțională a unei variabile de una sau mai multe altele; conține în mod obișnuit termeni constanți care nu sunt prezenți în ecuația diferențială inițială. Un alt mod de a spune acest lucru este că soluția unei ecuații diferențiale produce o funcție care poate fi utilizată pentru a prezice comportamentul sistemului inițial, cel puțin în anumite constrângeri.

analiză: ecuații Newton și diferențiale

aplicarea analizei sunt ecuații diferențiale, care raportează ratele de modificare a diferitelor cantități la valorile lor curente,

Ecuațiile diferențiale sunt clasificate în mai multe categorii largi, iar acestea sunt împărțite în continuare în mai multe subcategorii. Cele mai importante categorii sunt ecuațiile diferențiale obișnuite și ecuațiile diferențiale parțiale. Când funcția implicată în ecuație depinde doar de o singură variabilă, derivatele sale sunt derivate obișnuite și ecuația diferențială este clasificată ca ecuație diferențială ordinară. Pe de altă parte, dacă funcția depinde de mai multe variabile independente, astfel încât derivatele sale sunt derivate parțiale, ecuația diferențială este clasificată ca ecuație diferențială parțială. Următoarele sunt exemple de ecuații diferențiale obișnuite:

În acestea, y înseamnă funcția și fie t sau x este variabila independentă. Simbolurile k și m sunt utilizate aici pentru a stabili anumite constante.

Oricare ar fi tipul, se spune că o ecuație diferențială este de a noua ordine dacă implică o derivată a celui de-al nouălea ordin, dar nici o derivată a unei ordine mai mare decât aceasta. Ecuația este un exemplu de ecuație diferențială parțială de ordinul doi. Teoriile ecuațiilor diferențiale obișnuite și parțiale sunt semnificativ diferite și din acest motiv cele două categorii sunt tratate separat.

În locul unei ecuații diferențiale unice, obiectul de studiu poate fi un sistem simultan al unor astfel de ecuații. Formularea legilor dinamicii duce frecvent la astfel de sisteme. În multe cazuri, o singură ecuație diferențială de ordinul al nouălea este în mod avantajos înlocuibilă de un sistem de n ecuații simultane, fiecare dintre ele fiind de prim ordin, astfel încât tehnicile din algebra liniară pot fi aplicate.

O ecuație diferențială obișnuită în care, de exemplu, funcția și variabila independentă sunt notate cu y și x este, de fapt, un rezumat implicit al caracteristicilor esențiale ale y ca funcție a lui x. Aceste caracteristici ar fi, probabil, mai accesibile analizei dacă s-ar putea produce o formulă explicită pentru y. O astfel de formulă, sau cel puțin o ecuație în x și y (care nu implică derivați) care este deductibilă din ecuația diferențială, se numește o soluție a ecuației diferențiale. Procesul de deducere a unei soluții din ecuație prin aplicațiile algebrei și calculului se numește rezolvarea sau integrarea ecuației. Trebuie menționat, totuși, că ecuațiile diferențiale care pot fi rezolvate în mod explicit nu fac decât o minoritate mică. Astfel, majoritatea funcțiilor trebuie studiate prin metode indirecte. Chiar și existența acesteia trebuie dovedită atunci când nu există posibilitatea producerii acesteia pentru inspecție. În practică, metodele din analiza numerică, care implică calculatoare, sunt folosite pentru a obține soluții aproximative utile.