Ipoteza continuului, afirmația teoriei de seturi conform căreia mulțimea numerelor reale (continuumul) este într-un sens cât de mic poate fi. În 1873, matematicianul german Georg Cantor a dovedit că continuul este de necontestat - adică numerele reale sunt o infinitate mai mare decât numerele de numărare - un rezultat cheie în pornirea teoriei seturilor ca subiect matematic. Mai mult, Cantor a dezvoltat o modalitate de clasificare a mărimii mulțimilor infinite în funcție de numărul elementelor sale sau de cardinalitatea sa. (Vezi teoria seturilor: Cardinalitatea și numerele transfinite.) În acești termeni, ipoteza continuumului poate fi enunțată după cum urmează: Cardinalitatea continuumului este cel mai mic număr cardinal incontestabil.
teoria seturilor: Cardinalitatea și numerele transfinite
o conjectură cunoscută sub denumirea de ipoteză continuă.
În nota lui Cantor, ipoteza continuumului poate fi afirmată prin ecuația simplă 2 ℵ 0 = ℵ 1, unde ℵ 0 este numărul cardinal al unui set infinit numerabil (cum ar fi setul de numere naturale) și numerele cardinale de mai mare „ seturi bine ordonate ”sunt ℵ 1, ℵ 2,
, ℵ α,
, indexat de numerele ordinale. Cardinalitatea continuului poate fi arătată egală cu 2 ℵ 0; astfel, ipoteza continuului exclude existența unui set de mărimi intermediare între numerele naturale și continuum.
O afirmație mai puternică este ipoteza continuului generalizat (GCH): 2 ℵ α = ℵ α + 1 pentru fiecare număr ordinal α. Matematicianul polonez Wacław Sierpiński a dovedit că cu GCH se poate deriva axiomul ales.
La fel ca în axioma de alegere, matematicianul american originar din Austria, Kurt Gödel, a demonstrat în 1939 că, dacă celelalte axiome standard Zermelo-Fraenkel (ZF; vezi
tabel) sunt consecvente, apoi nu resping ipoteza continuum sau chiar GCH. Adică rezultatul adăugării GCH la celelalte axiome rămâne consecvent. Apoi, în 1963, matematicianul american Paul Cohen a completat imaginea arătând, din nou sub presupunerea că ZF este consecvent, că ZF nu dă o dovadă a ipotezei continuului.
Deoarece ZF nu dovedește și nu respinge ipoteza continuum, rămâne întrebarea dacă acceptăm ipoteza continuum bazată pe un concept informal al ceea ce sunt seturile. Răspunsul general în comunitatea matematică a fost negativ: ipoteza continuum este o afirmație limitativă într-un context în care nu există un motiv cunoscut pentru a impune o limită. În teoria seturilor, operația set-putere atribuie fiecărui set de cardinalitate ℵ α setul său de toate subseturile, care are cardinalitatea 2 ℵ α. Se pare că nu există niciun motiv pentru a impune o limită pentru varietatea subseturilor pe care le-ar putea avea un set infinit.
![Bătălia navală din istoria mexicană din Campeche [1843]](https://images.thetopknowledge.com/img/world-history/8/naval-battle-campeche-mexican-history-1843.jpg "Bătălia navală din istoria mexicană din Campeche [1843]")
