Problema Sturm-Liouville sau problema valorii proprii, în matematică, o anumită clasă de ecuații diferențiale parțiale (PDE) supuse unor constrângeri suplimentare, cunoscute sub numele de valori de graniță, pe soluții. Astfel de ecuații sunt comune atât în fizica clasică (de exemplu, conducta termică), cât și în mecanica cuantică (de exemplu, ecuația Schrödinger) pentru a descrie procese în care o anumită valoare externă (valoare de graniță) este menținută constantă, în timp ce sistemul de interes transmite o anumită formă de energie.
La mijlocul anilor 1830, matematicienii francezi Charles-François Sturm și Joseph Liouville au lucrat în mod independent la problema conducerii căldurii printr-o bară de metal, în procesul dezvoltând tehnici pentru rezolvarea unei clase mari de PDE, dintre care cel mai simplu ia forma [p (x) y ′] ′ + [q (x) - λr (x)] y = 0 în cazul în care y este o anumită cantitate fizică (sau funcția de undă mecanică cuantică) și λ este un parametru, sau o valoare proprie, care constrânge ecuația astfel că y satisface valorile graniței la punctele finale ale intervalului peste care variază x variază. Dacă funcțiile p, q și r îndeplinesc condiții adecvate, ecuația va avea o familie de soluții, numite funcții proprii, corespunzătoare soluțiilor proprii.
Pentru cazul neomogen mai complicat în care partea dreaptă a ecuației de mai sus este o funcție, f (x), mai degrabă decât zero, valorile proprii ale ecuației omogene corespunzătoare pot fi comparate cu valorile proprii ale ecuației originale. Dacă aceste valori sunt diferite, problema va avea o soluție unică. Pe de altă parte, dacă unul dintre aceste valori proprii se potrivește, problema nu va avea nici o soluție, fie o întreagă familie de soluții, în funcție de proprietățile funcției f (x).
