Fizica mecanicii fluidelor

Valuri pe ape adânci

O soluție particulară a ecuației lui Laplace care descrie mișcarea undei pe suprafața unui lac sau a oceanului este

În acest caz, axa x este direcția de propagare, iar axa z este verticală; z = 0 descrie suprafața liberă a apei atunci când este netulburată și z = −D descrie suprafața de jos; ϕ ₀ este o constantă arbitrară care determină amplitudinea mișcării; și f este frecvența undelor și λ lungimea lor de undă. Dacă λ este mai mare de câțiva centimetri, tensiunea de suprafață este irelevantă și presiunea în lichid chiar sub suprafața sa liberă este atmosferică pentru toate valorile x. Se poate arăta că în aceste condiții mișcarea de undă descrisă de (161) este în concordanță cu (157) doar dacă frecvența și lungimea de undă sunt legate de ecuație

și din aceasta se poate deduce o expresie pentru viteza undelor, deoarece V = fλ. Pentru apa mică (D << λ) se obține răspunsul citat deja ca ecuație (138), dar pentru ape adânci (D >> λ) răspunsul este

Valurile pe ape adânci sunt în mod evident dispersive, iar surferii se bazează pe acest fapt. O furtună din mijlocul oceanului tulbură suprafața într-un mod haotic care ar fi inutil pentru surfing, dar pe măsură ce valurile componente călătoresc spre țărm, ele se separă; cei cu lungimi de undă lungi se deplasează înaintea celor cu lungimi de undă scurte, deoarece călătoresc mai repede. Drept urmare, valurile par frumos regulate în momentul în care ajung.

Oricine a observat valurile din spatele unei nave în mișcare va ști că sunt limitate la o zonă în formă de V a suprafeței apei, cu nava la vârful acesteia. Undele sunt deosebit de proeminente pe brațele V, dar pot fi, de asemenea, distinse între aceste brațe, în cazul în care crestele de undă se curbă în modul indicat în figura 12. Se pare că se consideră pe larg că unghiul V devine mai acut pe măsură ce barca se accelerează, mult în modul în care unda de șoc conică care însoțește un proiectil supersonic devine mai acută (vezi figura 8). Nu este cazul; caracterul dispersiv al valurilor asupra apei adâncă este de așa natură încât V are un unghi fix de 2 păcat ^-1 (¹ / cu ₃) = 39 °. Thomson (Lord Kelvin) a fost primul care a explicat acest lucru și astfel zona în formă de V este cunoscută acum sub denumirea de pană Kelvin.

O versiune a argumentului lui Thomson este ilustrată de diagrama din figura 13. Aici S („sursa”) reprezintă arcul navei care se deplasează de la stânga la dreapta cu viteza uniformă U, iar liniile etichetate C, C ′, C ″, Etc., reprezintă un set de creste valuri paralele care se deplasează, de asemenea, de la stânga la dreapta. Se poate arăta că S va crea acest set de creste dacă, dar numai dacă, se plimbă continuu pe cel cu eticheta C. (De asemenea, se poate arăta că, deși crestele din set continuă la nesfârșit spre stânga lui C, acolo nu poate fi nimeni în dreapta acestuia.) Condiția în care S și C se mișcă împreună indică faptul că există o relație între lungimea de undă λ și înclinația α exprimată prin ecuație

Această condiție poate fi în mod evident satisfăcută de multe alte seturi de creste în afară de cea reprezentată de linii complete din figură - de exemplu, de setul cu lungimea de undă λ ′ puțin mai scurtă, care este reprezentată de linii rupte. Când se iau în considerare toate seturile care satisfac (164) și au lungimile de undă intermediare între λ și λ ′, devine evident că, în cea mai mare parte a zonei din spatele sursei, acestea interferează distructiv. Ele se consolidează reciproc, însă, în apropierea intersecțiilor care sunt inelate în figură. Aceste intersecții se află pe o linie prin S a înclinării β, unde

Rezultă că, deși unghiul a poate lua orice valoare între 90 ° (corespunzând λ = λ _max = 2πU ² / g) și la zero, β tan nu poate depăși ¹ / ₂ pătrat of√2 rădăcină și păcat β nu poate să depășească ¹ / cu ₃.

Navele pierd energie la valurile din panoul Kelvin și au o rezistență suplimentară în acest cont. Rezistența este deosebit de mare atunci când sistemul de valuri creat de arc, unde apa este împinsă deoparte, întărește sistemul de valuri creat de „anti-sursă” la pupa, unde apa se închide din nou. O astfel de armare poate avea loc atunci când lungimea efectivă a bărcii, L, este egală cu (2n + 1) λ _max / 2 (cu n = 0, 1, 2, …) și, prin urmare, când numărul Froude, U / Rădăcina pătrată a √ (Lg), ia una dintre valori [Rădăcina pătrată a√ (2n + 1) π] ¹. Cu toate acestea, odată ce o barcă a fost accelerată trecând de U = rădăcina pătrată a Ö (Lg / π), valurile arcul și pupa tind să se anuleze, iar rezistența rezultată din crearea undelor se diminuează.

Valurile pe ape adânci a căror lungime de undă este de câțiva centimetri sau mai puțin sunt, în general, denumite ondulări. În astfel de unde, diferențele de presiune pe suprafața curbă a apei asociate cu tensiunea superficială (vezi ecuația [129]) nu sunt neglijabile, iar expresia adecvată pentru viteza de propagare a acestora este

Viteza undei este deci mare pentru lungimi de undă foarte scurte, precum și pentru cele foarte lungi. Pentru apa la temperaturi normale, V are o valoare minimă de aproximativ 0,23 metri pe secundă, unde lungimea de undă este de aproximativ 17 milimetri și urmează (rețineți că ecuația [164] nu are rădăcină reală pentru α decât dacă U depășește V) că un obiect se mișcă prin apă nu poate crea deloc ondulări decât dacă viteza sa depășește 0,23 metri pe secundă. De asemenea, un vânt care se deplasează pe suprafața apei nu creează ondulații decât dacă viteza acestuia depășește o anumită valoare critică, dar acesta este un fenomen mai complicat, iar viteza critică în cauză este distinct mai mare.