Diophantus, pe numele lui Diophantus din Alexandria, (înflorit c. Ce 250), matematician grec, celebru pentru munca sa în algebră.
teoria numerelor: Diophantus
Dintre matematicienii greci de mai târziu, deosebit de demn este Diophantus of Alexandria (înflorit c. 250), autor
Ceea ce se știe puțin despre viața lui Diofant este circumstanțial. Din denumirea „Alexandria” se pare că a lucrat în centrul științific principal al lumii grecești antice; și pentru că nu este menționat înainte de secolul al IV-lea, se pare că a înflorit în timpul secolului al III-lea. Poate fi contrazisă o epigramă aritmetică din Anthologia Graeca din antichitatea târzie, care să prezinte câteva repere ale vieții sale (căsătoria la 33 de ani, nașterea fiului său la 38 de ani, moartea fiului său cu patru ani înaintea propriei sale la 84 de ani). Două lucrări au ajuns până la noi sub numele său, ambele incomplete. Primul este un fragment mic pe numere poligonale (un număr este poligonal dacă același număr de puncte poate fi aranjat sub forma unui poligon regulat). Al doilea, un tratat mare și extrem de influențat, pe care se bazează toată faima antică și modernă a lui Diofant, este Arithmetica sa. Importanța sa istorică este dublă: este prima lucrare cunoscută care a folosit algebra într-un stil modern și a inspirat renașterea teoriei numerelor.
Aritmetica începe cu o introducere adresată lui Dionisie - probabil Sfântul Dionisie al Alexandriei. După câteva generalități despre numere, Diophantus își explică simbolismul - folosește simboluri pentru necunoscut (care corespund x-ului nostru) și puterile sale, pozitive sau negative, precum și pentru unele operații aritmetice - majoritatea acestor simboluri sunt prescurtări scribale. Aceasta este prima și singura apariție a simbolismului algebric înainte de secolul al XV-lea. După ce a predat înmulțirea puterilor necunoscutului, Diophantus explică înmulțirea termenilor pozitivi și negativi și apoi cum se poate reduce o ecuație la unul cu termeni doar pozitivi (forma standard preferată în antichitate). Cu aceste preliminarii ieșite din cale, Diophantus trece la probleme. Într-adevăr, Arithmetica este, în esență, o colecție de probleme cu soluțiile, aproximativ 260 din partea care încă există.
Introducerea afirmă, de asemenea, că lucrarea este împărțită în 13 cărți. Șase dintre aceste cărți au fost cunoscute în Europa la sfârșitul secolului al XV-lea, transmise în greacă de savanți bizantini și numerotate de la I la VI; Alte patru cărți au fost descoperite în 1968 într-o traducere arabă din secolul al IX-lea de Qusṭā ibn Lūqā. Cu toate acestea, textul arab nu are simbolism matematic și se pare că se bazează pe un comentariu grecesc ulterior - poate cel din Hypatia (c. 370-415) - care a diluat expunerea lui Diofant. Știm acum că numerotarea cărților grecești trebuie modificată: Arithmetica constă astfel din cărțile I-III în greacă, cărțile IV-VII în arabă și, probabil, cărțile VIII-X în greacă (fostele cărți grecești IV-VI). Renumerarea ulterioară este puțin probabilă; este destul de sigur că bizantinii nu au cunoscut decât cele șase cărți pe care le-au transmis și arabii nu mai mult decât Cărțile I-VII în versiunea comentată.
Problemele din Cartea I nu sunt caracteristice, fiind în mare parte probleme simple utilizate pentru a ilustra socoteala algebraică. Trăsăturile distinctive ale problemelor lui Diophantus apar în cărțile ulterioare: sunt nedeterminate (având mai mult de o soluție), sunt de gradul doi sau pot fi reduse la gradul doi (cea mai mare putere în termeni variabili este 2, adică x 2), și se încheie cu determinarea unei valori raționale pozitive pentru necunoscut care va face dintr-o expresie algebră dată un pătrat numeric sau uneori un cub. (De-a lungul cărții sale, Diophantus folosește „număr” pentru a face referire la ceea ce acum se numesc numere raționale pozitive; astfel, un număr pătrat este pătratul unui număr rațional pozitiv.) Cărțile II și III învață, de asemenea, metode generale. În trei probleme ale cărții II, se explică modul de reprezentare: (1) orice număr pătrat dat ca o sumă a pătratelor a două numere raționale; (2) orice număr nepătrat dat, care este suma a două pătrate cunoscute, ca sumă a altor două pătrate; și (3) orice număr rațional dat ca diferență de două pătrate. În timp ce prima și a treia problemă sunt enunțate în general, cunoașterea asumată a unei soluții din a doua problemă sugerează că nu orice număr rațional este suma a două pătrate. Ulterior, Diophantus oferă condiția unui număr întreg: numărul dat nu trebuie să conțină niciun factor prim al formei 4n + 3 ridicat la o putere impară, unde n este un număr întreg ne negativ. Astfel de exemple au motivat renașterea teoriei numerelor. Deși Diophantus este de obicei satisfăcut că obține o soluție la o problemă, el menționează ocazional în probleme că există un număr infinit de soluții.
În Cărțile IV până la VII Diophantus extinde metode de bază, precum cele prezentate mai sus, la probleme de grade superioare, care pot fi reduse la o ecuație binomială de primul sau al doilea grad. Prefacerile acestor cărți afirmă că scopul lor este de a oferi cititorului „experiență și pricepere”. În timp ce această descoperire recentă nu mărește cunoștințele despre matematica lui Diophantus, aceasta modifică aprecierea abilității sale pedagogice. Cărțile VIII și IX (probabil că cărțile IV și V grecești) rezolvă probleme mai dificile, chiar dacă metodele de bază rămân aceleași. De exemplu, o problemă implică descompunerea unui număr întreg dat în suma a două pătrate care sunt în mod arbitrar aproape una de alta. O problemă similară implică descompunerea unui număr întreg dat în suma a trei pătrate; în ea, Diophantus exclude cazul imposibil de numere întregi de formă 8n + 7 (din nou, n este un număr întreg ne negativ). Cartea X (probabil că Cartea a VI-a greacă) tratează triunghiuri în unghi drept, cu laturi raționale și supuse diferitelor condiții.
Conținutul celor trei cărți dispărute din Arithmetica poate fi surprins din introducere, unde, după ce a spus că reducerea unei probleme ar trebui „dacă este posibil” să încheie cu o ecuație binomială, Diophantus adaugă că va „trata mai târziu” cazul a unei ecuații trinomiale - o promisiune neîmplinită în partea existentă.
Deși avea la dispoziție unelte algebrice limitate, Diophantus a reușit să rezolve o mare varietate de probleme, iar Arithmetica i-a inspirat pe matematicienii arabi, cum ar fi Al-Karajī (c. 980-1030) să-și aplice metodele. Cea mai faimoasă extensie a operei lui Diophantus a fost Pierre de Fermat (1601–65), fondatorul teoriei moderne a numerelor. În marja copiei sale despre Arithmetica, Fermat a scris diverse observații, propunând noi soluții, corecții și generalizări ale metodelor lui Diophantus, precum și unele conjecturi precum ultima teoremă a lui Fermat, care a ocupat matematicieni pentru generațiile următoare. Ecuațiile indeterminate restrânse la soluții integrale au devenit cunoscute, deși în mod necorespunzător, ca ecuații diofantine.
