Riemann matematica funcției zeta

Funcția zeta Riemann, funcție utilă în teoria numerelor pentru investigarea proprietăților numerelor prime. Scris ca ζ (x), a fost inițial definit ca seria infinităζ (x) = 1 + 2 ^−x + 3 ^−x + 4 ^−x + ⋯. Când x = 1, această serie se numește serie armonică, care crește fără legătură - adică, suma sa este infinită. Pentru valori de x mai mari decât 1, seria convergă la un număr finit, deoarece sunt adăugați termeni succesivi. Dacă x este mai mică de 1, suma este din nou infinită. Funcția zeta a fost cunoscută matematicianului elvețian Leonhard Euler în 1737, dar a fost studiată mai întâi de matematicianul german Bernhard Riemann.

În 1859, Riemann a publicat o lucrare care dă o formulă explicită pentru numărul primelor până la orice limită prealabilă - o îmbunătățire hotărâtă față de valoarea aproximativă dată de teorema numerelor prime. Cu toate acestea, formula lui Riemann depindea de cunoașterea valorilor la care o versiune generalizată a funcției zeta este egală cu zero. (Funcția zeta Riemann este definită pentru toate numerele complexe - numerele formei x + iy, unde i = rădăcina pătrată a − 1 - cu excepția liniei x = 1.) Riemann știa că funcția este egală cu zero pentru toate negative numere întregi −2, −4, −6,

(așa-numitele zerouri banale) și că are un număr infinit de zerouri în banda critică a numerelor complexe între liniile x = 0 și x = 1, și a știut, de asemenea, că toate zerourile nontriviale sunt simetrice în raport cu critica linia x = ¹ / cu ₂. Riemann a conjecturat că toate zerourile nontriviale sunt pe linia critică, o conjectură care ulterior a devenit cunoscută drept ipoteza Riemann.

În 1900, matematicianul german David Hilbert a numit ipoteza lui Riemann una dintre cele mai importante întrebări din toată matematica, așa cum este indicat prin includerea sa în lista sa de 23 de probleme nerezolvate cu care a contestat matematicienii secolului XX. În 1915, matematicianul englez Godfrey Hardy a dovedit că un număr infinit de zerouri apar pe linia critică, iar până în 1986, primele 1.500.000.001 de zerouri nepriviale au fost toate arătate pe linia critică. Deși ipoteza s-ar putea dovedi a fi falsă, investigațiile acestei probleme dificile au îmbogățit înțelegerea numerelor complexe.